Ergodicity

Эргодичность — свойство системы, при котором усреднение по времени совпадает с усреднением по множеству состояний. Если наблюдать за объектом достаточно долго, увидим все типичные варианты его поведения, как при взгляде на множество копий. Для случайных процессов это означает, что одна длинная траектория даёт ту же статистику, что и много независимых экспериментов.

Понимание эргодичности критически важно в финансах, физике и статистике. Если процесс неэргодичен, средние по группе ничего не говорят о судьбе конкретного участника. Классический пример — игра с равными шансами удвоить капитал или потерять 60%. Сто игроков начинают с тысячью рублей; после каждого раунда половина удваивает деньги, половина теряет шестьсот. Средний капитал по всем игрокам растёт: в среднем раунд даёт 20% прироста. Но если один игрок будет играть много раз подряд, его капитал умножается на 2 или на 0,4 с равной вероятностью. Средний множитель за шаг — 0,8, поэтому капитал долгосрочно стремится к нулю. Это неэргодичность: среднее по ансамблю положительно, а среднее по времени для одного человека отрицательно.

Если процесс эргодичен, одна длинная серия наблюдений заменяет множество коротких. Для неэргодичного — не работает. Поэтому нельзя полагаться на среднюю доходность портфелей, если стратегия ведёт к разорению с высокой вероятностью. Для долгосрочного планирования важно использовать среднее геометрическое или логарифмический рост, учитывающий реальную динамику капитала индивида. Эргодичность лежит в основе теории риска и поведенческих финансов: то, что хорошо для группы, может быть гибельным для индивида, а правильная оценка будущего требует взгляда на время, а не только на статистику толпы.